為了理解這個問題，我們先從數(shù)軸開始。

在我們眼中，數(shù)軸就是一條普通的水平線，而且這條水平線是連續(xù)的。

但真的是這樣嗎？

（相關(guān)資料圖）

數(shù)軸是由點(diǎn)組成的，每個點(diǎn)對應(yīng)一個數(shù)字。那么我們仔細(xì)想一想，當(dāng)數(shù)字和數(shù)字無縫連接在一起意味著什么呢？我們當(dāng)然不能說。

這里只考慮有理數(shù)的情況。

我們知道有理數(shù)可以用m/n來表示。那么，兩個不同的有理數(shù)之間必然存在差異，即間隙。不管差距有多小，它都必須存在。

那么，根據(jù)上面的分析，數(shù)軸并不是連續(xù)的，而是點(diǎn)與點(diǎn)之間有間隔：

圖1

盡管這個差距可以任意小，但差距仍然存在。

正是基于上述思想，數(shù)學(xué)家定義了無窮小的概念：

無窮小大于0，但小于任何數(shù)字。也就是說，無窮小雖然大于0，但卻不能用任何數(shù)來表示。

無窮小定義的關(guān)鍵是用無窮對抗無窮大：數(shù)軸上相鄰的兩個點(diǎn)可以很接近，但x也可以變得無限小。

首先，很明顯，數(shù)學(xué)點(diǎn)沒有大小，因?yàn)閿?shù)學(xué)理論認(rèn)為，任意兩個相鄰點(diǎn)之間一定存在無數(shù)個其他點(diǎn)。如果點(diǎn)有大小的話，這個理論就肯定不成立，因?yàn)橹灰写笮?，就總會有放不下的時候。

正是因?yàn)辄c(diǎn)沒有大小，點(diǎn)與點(diǎn)之間必然存在間隔，并且考慮到數(shù)學(xué)上無窮小大于0但小于任何確定數(shù)的定義，我們可以假設(shè)：

圖2

也就是說，數(shù)軸上的每個點(diǎn)都尾隨一個無窮小的尾部。這個假設(shè)和數(shù)學(xué)理論并不矛盾：因?yàn)閿?shù)軸上任意兩點(diǎn)之間的距離都對應(yīng)著某個數(shù)，而這個無窮小長度小于任意兩相鄰點(diǎn)之間的距離。注意，上圖中的無窮小沒有與它右邊的點(diǎn)相連，表明x小于任意某個數(shù)。數(shù)軸上相鄰的兩個點(diǎn)可以無限接近，但無論距離有多近，x 總是小于兩個相鄰點(diǎn)之間的距離，但x 并不是一個沒有大小的點(diǎn)。這里的x是極限，它可以無限接近0，但永遠(yuǎn)不會等于0。

我們假設(shè)圖2中的第一個點(diǎn)是1，第二個點(diǎn)是0.9的一個周期。 0.9的循環(huán)無限接近于1的左邊。進(jìn)入點(diǎn)1的x區(qū)域后，兩個數(shù)字之間的差值就不能再用任何方式使用了。當(dāng)表達(dá)一個數(shù)的時候，或者說兩個數(shù)之間不能再放任何數(shù)的時候，這個時候我們只能認(rèn)為這兩個數(shù)是相等的。